por.Karina3
6.- Demostrar que los triángulos dados por las coordenadas de sus vértices son isóceles:
a) (2,-2), (-3,-1), (1,6) c) (2,4), (5,1), (6,5)
b) (-2,2), (6,6), (2,-2) d) (6,7), (-8,-1), (-2,-7)
a) (2,-2), (-3,-1), (1,6) c) (2,4), (5,1), (6,5)
b) (-2,2), (6,6), (2,-2) d) (6,7), (-8,-1), (-2,-7)
Triángulo FGH:
Por: Jose Pablo
2. x2=12y
x2=4py
4p=12 (0,3)
P=12/4
P=3
Y=3 (0,-3) y=-3
Ecuación de la directriz (0,-3)Longitud del lado recto 4p=12
3. y²+8x = 0.
y² + 8x = y² - 4px (se iguala con la ecuación de la parábola y²=4px)
8x = -4px (se eliminan las y’s cuadradas)
p= 8x/-4x (se despeja “p”)
p= -2 (se eliminan las x’s y se divide)
*coordenada del foco = (-2,0)
*ecuación de la directriz es x= -p (sustituimos la “p” de la coordenada del foco en la ecuación y queda:
X = -p
X = -(-2)
X= 2 <<<<<
*la longitud del lado recto está dada por 4p donde indican
Valor absoluto, sustituimos
POR: glender
GRUPO 16:
4.- Hallar el área del círculo cuya ecuación es
9x2 + 9y2 + 72x - 12y + 103 = 0
1º) Llevemos la ecuación "9x²+9y²+72x-12y+103=0" a una forma conocida:
9x² +9y² + 72x - 12y + 103 = 0 --->
9(x² + 8x) + 9[y² - (4/3)y] + 103 = 0 --->
9(x+4)² - 144 + 9[y-(2/3)]² - 4 + 103 = 0 --->
9(x+4)² + 9[y-(2/3)]² = 45 ---> (x+4)² + [y-(2/3)]² = 5
En esta expresión "5" representa el "cuadrado del radio". Y como el área del círculo es
A = ¶.Radio² ---> A = 5¶
5.-Hallar la longitud de la circunferencia cuya ecuación es
25x2 + 25y2 + 30x - 20y – 62 = 0
2º) Mismo procedimiento anterior:
25x² + 25y² + 30x - 20y - 62 = 0 --->
25[x² + (6/5)x] + 25[y² - (4/5)y] - 62 = 0 --->
25[x + (3/5)]² - 9 + 25[y - (2/5)]² - 4 - 62 = 0 --->
25[x + (3/5)]² + 25[y - (2/5)]² = 75 --->
[x + (3/5)]² + [y - (2/5)]² = 3
En esta última expresión el radio vale: Radio = √3
Y como la longitud de la circunferencia es:
Long = 2.¶.Radio ---> Long = 2.√3.¶
6.- demostrar que las circunferencias 4x2 + 4y2 - 16x + 12y + 13 = 0 y 12x2 + 12y2 – 48x + 36y + 55 = 0 son concéntricas.
Dos o más circunferencias son concéntricas si y solo si poseen el mismo centro.
PARA SABER EN QUE PUNTO ESTA EL CENTRO DE LA CIRCUNFERNCIAS HAY QUE LLEVARLAS A SU FORMA ESTANDAR, ES DECIR A LA FORMA:
( x - h )² + ( y - k )² = r²
Donde el centro esta en el punto C( h , k )
❶ 4x² + 4y² - 16x + 12y + 13 = 0
Dividiendo a la ecuación entre 4 queda:
x² + y² - 4x + 3y + 13 / 4 = 0
Agrupando términos semejantes:
( x² - 4x ) + ( y² + 3y ) + 13 / 4 = 0
Transponiendo el término independiente 13 / 4 al segundo miembro:
( x² - 4x ) + ( y² + 3y ) = -13 / 4
Completando el trinomio cuadrado perfecto:
( x² - 4x + 4 ) + ( y² + 3y + 9 / 4 ) = -13 / 4
Como se le sumo 4 y 9 / 4 al primer miembro de la ecuación para mantener la igualdad hay que sumarle la misma cantidad al segundo miembro de la ecuación:
( x² - 4x + 4 ) + ( y² + 3y + 9 / 4 ) = -13 / 4 + 4 + 9 / 4
( x² - 4x + 4 ) + ( y² + 3y + 9 / 4 ) = 5
Factorizando los trinomios cuadrados perfectos queda:
( x - 2 )² + ( y + 3 / 2 ) ² = 5
Por lo tanto el centro de esta circunferencia esta en el punto C₁
( 2 , - 3 / 2 ). ✔
❷ 12x² + 12y² - 48x + 36y + 55 = 0
Dividiendo a la ecuación entre 12 queda:
x² + y² - 4x + 3y + 55 / 12 = 0
Agrupando términos semejantes:
( x² - 4x ) + ( y² + 3y ) + 55 / 12 = 0
Transponiendo el término independiente 55 / 12 al segundo miembro:
( x² - 4x ) + ( y² + 3y ) = -55 / 12
Completando el trinomio cuadrado perfecto:
( x² - 4x + 4 ) + ( y² + 3y + 9 / 4 ) = 55 / 12
Como se le sumo 4 y 9 / 4 al primer miembro de la ecuación para mantener la igualdad hay que sumarle la misma cantidad al segundo miembro de la ecuación:
( x² - 4x + 4 ) + ( y² + 3y + 9 / 4 ) = -55 / 12 + 4 + 9 / 4
( x² - 4x + 4 ) + ( y² + 3y + 9 / 4 ) = 5 / 3
Factorizando los trinomios cuadrados perfectos queda:
( x - 2 )² + ( y + 3 / 2 ) ² = 5 / 3
Por lo tanto el centro de esta circunferencia esta en el punto C₂ ( 2 , - 3 / 2 ). ✔
Se comprueba que ambas circunferencias son concéntricas ya que poseen el mismo centro.
C₁ ( 2 , - 3 / 2 ) = C₂ ( 2 , - 3 / 2 )
4.- Hallar el área del círculo cuya ecuación es
9x2 + 9y2 + 72x - 12y + 103 = 0
1º) Llevemos la ecuación "9x²+9y²+72x-12y+103=0" a una forma conocida:
9x² +9y² + 72x - 12y + 103 = 0 --->
9(x² + 8x) + 9[y² - (4/3)y] + 103 = 0 --->
9(x+4)² - 144 + 9[y-(2/3)]² - 4 + 103 = 0 --->
9(x+4)² + 9[y-(2/3)]² = 45 ---> (x+4)² + [y-(2/3)]² = 5
En esta expresión "5" representa el "cuadrado del radio". Y como el área del círculo es
A = ¶.Radio² ---> A = 5¶
5.-Hallar la longitud de la circunferencia cuya ecuación es
25x2 + 25y2 + 30x - 20y – 62 = 0
2º) Mismo procedimiento anterior:
25x² + 25y² + 30x - 20y - 62 = 0 --->
25[x² + (6/5)x] + 25[y² - (4/5)y] - 62 = 0 --->
25[x + (3/5)]² - 9 + 25[y - (2/5)]² - 4 - 62 = 0 --->
25[x + (3/5)]² + 25[y - (2/5)]² = 75 --->
[x + (3/5)]² + [y - (2/5)]² = 3
En esta última expresión el radio vale: Radio = √3
Y como la longitud de la circunferencia es:
Long = 2.¶.Radio ---> Long = 2.√3.¶
6.- demostrar que las circunferencias 4x2 + 4y2 - 16x + 12y + 13 = 0 y 12x2 + 12y2 – 48x + 36y + 55 = 0 son concéntricas.
Dos o más circunferencias son concéntricas si y solo si poseen el mismo centro.
PARA SABER EN QUE PUNTO ESTA EL CENTRO DE LA CIRCUNFERNCIAS HAY QUE LLEVARLAS A SU FORMA ESTANDAR, ES DECIR A LA FORMA:
( x - h )² + ( y - k )² = r²
Donde el centro esta en el punto C( h , k )
❶ 4x² + 4y² - 16x + 12y + 13 = 0
Dividiendo a la ecuación entre 4 queda:
x² + y² - 4x + 3y + 13 / 4 = 0
Agrupando términos semejantes:
( x² - 4x ) + ( y² + 3y ) + 13 / 4 = 0
Transponiendo el término independiente 13 / 4 al segundo miembro:
( x² - 4x ) + ( y² + 3y ) = -13 / 4
Completando el trinomio cuadrado perfecto:
( x² - 4x + 4 ) + ( y² + 3y + 9 / 4 ) = -13 / 4
Como se le sumo 4 y 9 / 4 al primer miembro de la ecuación para mantener la igualdad hay que sumarle la misma cantidad al segundo miembro de la ecuación:
( x² - 4x + 4 ) + ( y² + 3y + 9 / 4 ) = -13 / 4 + 4 + 9 / 4
( x² - 4x + 4 ) + ( y² + 3y + 9 / 4 ) = 5
Factorizando los trinomios cuadrados perfectos queda:
( x - 2 )² + ( y + 3 / 2 ) ² = 5
Por lo tanto el centro de esta circunferencia esta en el punto C₁
( 2 , - 3 / 2 ). ✔
❷ 12x² + 12y² - 48x + 36y + 55 = 0
Dividiendo a la ecuación entre 12 queda:
x² + y² - 4x + 3y + 55 / 12 = 0
Agrupando términos semejantes:
( x² - 4x ) + ( y² + 3y ) + 55 / 12 = 0
Transponiendo el término independiente 55 / 12 al segundo miembro:
( x² - 4x ) + ( y² + 3y ) = -55 / 12
Completando el trinomio cuadrado perfecto:
( x² - 4x + 4 ) + ( y² + 3y + 9 / 4 ) = 55 / 12
Como se le sumo 4 y 9 / 4 al primer miembro de la ecuación para mantener la igualdad hay que sumarle la misma cantidad al segundo miembro de la ecuación:
( x² - 4x + 4 ) + ( y² + 3y + 9 / 4 ) = -55 / 12 + 4 + 9 / 4
( x² - 4x + 4 ) + ( y² + 3y + 9 / 4 ) = 5 / 3
Factorizando los trinomios cuadrados perfectos queda:
( x - 2 )² + ( y + 3 / 2 ) ² = 5 / 3
Por lo tanto el centro de esta circunferencia esta en el punto C₂ ( 2 , - 3 / 2 ). ✔
Se comprueba que ambas circunferencias son concéntricas ya que poseen el mismo centro.
C₁ ( 2 , - 3 / 2 ) = C₂ ( 2 , - 3 / 2 )
*por
GRUPO 11-EJERCICIOS DEL 1 AL 3
1.- HALLAR LA ECUACION DE UNA RECTA EN LA FORMA NORMAL, SIENDO
W=60º y p=6
Xcosw + y senw –p=0
Xcos60 + ysen60-6=0
1/2x + raíz cuadrada de 3/2 =-6=0
1.- HALLAR LA ECUACION DE UNA RECTA EN LA FORMA NORMAL, SIENDO
W=60º y p=6
Xcosw + y senw –p=0
Xcos60 + ysen60-6=0
1/2x + raíz cuadrada de 3/2 =-6=0
1.- LA ECUACION DE UNA RECTA EN LA FORMA NORMAL ES XCOSw + Y SEN w – S = 0 HALLAR EL VALOR DE w PARA QUE LA RECTA PASE POR EL PUNTO (-4,3)
m l = 8-0/6-0 aB= w=arctan (A/B)
ml =8/6 y-8=8/6 (x-0) w=arctan(1/-8/6)
y=8/6x+8 w=146º
y-8/6x-8=0
Por:clarisa
7.-Hallar un procedimiento para obtener puntos de de la parábola por medio de escuadras y compas, si se dan el foco la directriz.
1.-Trazar un par de rectas perpendiculares entre si que se corten.
2.-Sobre una de esas rectas marcar un punto diferente al punto de intersección de las rectas llamemos eje de simetría a la recta donde hemos marcado el punto mismo que recibe el nombre de foco la otra recta la identificamos como directriz.
3.-La directriz divide a nuestro espacio bidimensional en dos partes a los que llamamos semiplanos, en las siguientes instrucciones nos vamos a referir únicamente al semiplano en que se encuentra el foco.
4.-Trazar una recta paralela a la directriz de forma que la distancia entre esta recta y la directriz sea mayor a un medio de la distancia del foco a la directriz.
5.-Sobre el eje de simetría colocar el compas de forma que los puntos de mismos coincidan con la directriz la recta trazada. Y con centro en el foco trazar arcos de circunferencia que corten a la recta con los arcos de circunferencia serán puntos de parábola.
6.-Repetir los puntos 4,5 como mínimo 15 veces y unir los puntos de intersección.
1.-Trazar un par de rectas perpendiculares entre si que se corten.
2.-Sobre una de esas rectas marcar un punto diferente al punto de intersección de las rectas llamemos eje de simetría a la recta donde hemos marcado el punto mismo que recibe el nombre de foco la otra recta la identificamos como directriz.
3.-La directriz divide a nuestro espacio bidimensional en dos partes a los que llamamos semiplanos, en las siguientes instrucciones nos vamos a referir únicamente al semiplano en que se encuentra el foco.
4.-Trazar una recta paralela a la directriz de forma que la distancia entre esta recta y la directriz sea mayor a un medio de la distancia del foco a la directriz.
5.-Sobre el eje de simetría colocar el compas de forma que los puntos de mismos coincidan con la directriz la recta trazada. Y con centro en el foco trazar arcos de circunferencia que corten a la recta con los arcos de circunferencia serán puntos de parábola.
6.-Repetir los puntos 4,5 como mínimo 15 veces y unir los puntos de intersección.
El punto medio entre el foco y la directriz se llama vértice, la recta que pasa por el foco y por el vértice se llama eje de la parábola. Se puede observar en la figura 1 que una parábola es simétrica respecto a su eje.
por: jorge Javier
Ejercicio 26
Aplicando el concepto de pendiente, averiguar cuáles de los puntos siguientes son colineales:
a) (2,3) , (-4,7) y (5,8);
Mab= 7- 3= 4
-4-2 6
Mbc=8 -7 = 1
5 -4 1 NO ES COLINEAL
b) (4,1) , (5,-2) y (6,-5);
Mab=-2 -1 =-3=3
5 -4 1
Mbc=-5 -2=-7=-7
6 -5 1 SI ES COLINEAL
c) (-1,-4) , (2,5) y (7,-2);
Mab=5 +4= 9=3
2 +1 3
Mbc=-2 -5=-7
7 -2 5 NO ES COLINEAL
d) (0,5) , (5,0) y (6,-1);
Mab=0 -5= -5=-1
5 -0 5
Mbc=-1 -0=-1=-1
6 -5 1 SI ES COLINEAL
e) (a,0) , (2ª, -b) y (-a,2b);
Mab=-b -0= -b=-c
2ª -a a
Mbc=-2b +b= 3b=-c
-a +2a -3a SI ES COLINEAL
f) (-2,1) , (3,2) y (6,3);
Mab=2 -1= 3
3 +2 5
Mbc=3 -2= 1
6 -3 3 NO ES COLINEAL
Ejercicio 27
Demostrar que el punto (1,-2) está situado en la recta que pasa por los puntos (-5,1) y (7,-5) y que equidisten de ellos:
A B C
(-5,1) (7,-5) (1,-2)
Mab=-5 -1= -6=-1
7 +5 12 3
Mbc=-2 +5= 3= -1 MISMAS PENDIENTES ENTONCES PASA POR LA RECTA
1 +7 -6 3
Mca= -2 -1=-3=-1
1 +5 6 3
Xab=-5 +7 = 2=1 COMO (1,-2) ES EL PUNTO MEDIO DE AB ENTONCES SI EQUIDISTAN
2 2 DE ELLOS
Yab=1 -5 = -4=-2
2 2
Aplicando el concepto de pendiente, averiguar cuáles de los puntos siguientes son colineales:
a) (2,3) , (-4,7) y (5,8);
Mab= 7- 3= 4
-4-2 6
Mbc=8 -7 = 1
5 -4 1 NO ES COLINEAL
b) (4,1) , (5,-2) y (6,-5);
Mab=-2 -1 =-3=3
5 -4 1
Mbc=-5 -2=-7=-7
6 -5 1 SI ES COLINEAL
c) (-1,-4) , (2,5) y (7,-2);
Mab=5 +4= 9=3
2 +1 3
Mbc=-2 -5=-7
7 -2 5 NO ES COLINEAL
d) (0,5) , (5,0) y (6,-1);
Mab=0 -5= -5=-1
5 -0 5
Mbc=-1 -0=-1=-1
6 -5 1 SI ES COLINEAL
e) (a,0) , (2ª, -b) y (-a,2b);
Mab=-b -0= -b=-c
2ª -a a
Mbc=-2b +b= 3b=-c
-a +2a -3a SI ES COLINEAL
f) (-2,1) , (3,2) y (6,3);
Mab=2 -1= 3
3 +2 5
Mbc=3 -2= 1
6 -3 3 NO ES COLINEAL
Ejercicio 27
Demostrar que el punto (1,-2) está situado en la recta que pasa por los puntos (-5,1) y (7,-5) y que equidisten de ellos:
A B C
(-5,1) (7,-5) (1,-2)
Mab=-5 -1= -6=-1
7 +5 12 3
Mbc=-2 +5= 3= -1 MISMAS PENDIENTES ENTONCES PASA POR LA RECTA
1 +7 -6 3
Mca= -2 -1=-3=-1
1 +5 6 3
Xab=-5 +7 = 2=1 COMO (1,-2) ES EL PUNTO MEDIO DE AB ENTONCES SI EQUIDISTAN
2 2 DE ELLOS
Yab=1 -5 = -4=-2
2 2
POR: Leonardo Daniel
En cada uno de los ejercicios 7-9 hallar las coordenadas de los vértices y focos las longitudes de los ejes mayor y menor, la excentridad y la longitud de cada uno de sus lados rectos de la elipse correspondiente. Trazar y discutir el lugar geométrico.
· 7.- 4x² + 9y² = 36
· 8.- 16x² + 25y² = 400
· 9.- x² + 3y² = 6
· 7.- 4x² + 9y² = 36
· 8.- 16x² + 25y² = 400
· 9.- x² + 3y² = 6
Por: Anaid
En cada uno de los ejercicios 1 – 4, hallar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto para la ecuación dada, y discutir el lugar geométrico correspondiente.
4. x²+2y = 0.
x² + 2y = x² - 4py
2y = -4py
p = 2y/-4y
p = 2/-4
p = -2
*coordenada del foco (0,-2)
*ecuación de la directriz
y = -p
y= -(-2)
y= 2
*longitud del lado recto4p= 4(-2) = -8 = 8
5. Deducir y discutir la ecuación ordinaria x² = 4py
X²=4py es la ecuación que se usa para sacar "p", que es la distancia del foco al punto de origen (vértice) de la parábola.
Un ejemplo:
Supongamos que tienes x²=8y y tienes que sacar "p", usamos la ecuación x²=4py
Resultaría:
x²=4(2) y
x²=8y
P=2
Si la parábola tiene un eje focal vertical que abre hacia arriba o hacia a abajo la ecuación va a hacer: x²=4py
Si la parábola tiene un eje focal vertical que abre hacia arriba o hacia a abajo la ecuación va a hacer: y²=4px
6. Hallar un procedimiento para obtener puntos de la parábola por medio de escuadras y compás, cunado se conocen el foco y la directriz.
Trazar una recta paralela a la directriz de forma que la distancia entre esta recta y a la directriz de forma que la distancia entre esa recta y a la directriz sea mayor a ½ de la distancia del foco a la directriz.
Sobre el eje de simetría colocar el compás de forma que las puntas del mismo coincidan con la directriz y la recta trazada y con centro en el foco trazar arcos de circunferencia que corten a la recta que acabamos de trazar; Las intersecciones de la recta serán los puntos de la parábola.
4. x²+2y = 0.
x² + 2y = x² - 4py
2y = -4py
p = 2y/-4y
p = 2/-4
p = -2
*coordenada del foco (0,-2)
*ecuación de la directriz
y = -p
y= -(-2)
y= 2
*longitud del lado recto4p= 4(-2) = -8 = 8
5. Deducir y discutir la ecuación ordinaria x² = 4py
X²=4py es la ecuación que se usa para sacar "p", que es la distancia del foco al punto de origen (vértice) de la parábola.
Un ejemplo:
Supongamos que tienes x²=8y y tienes que sacar "p", usamos la ecuación x²=4py
Resultaría:
x²=4(2) y
x²=8y
P=2
Si la parábola tiene un eje focal vertical que abre hacia arriba o hacia a abajo la ecuación va a hacer: x²=4py
Si la parábola tiene un eje focal vertical que abre hacia arriba o hacia a abajo la ecuación va a hacer: y²=4px
6. Hallar un procedimiento para obtener puntos de la parábola por medio de escuadras y compás, cunado se conocen el foco y la directriz.
Trazar una recta paralela a la directriz de forma que la distancia entre esta recta y a la directriz de forma que la distancia entre esa recta y a la directriz sea mayor a ½ de la distancia del foco a la directriz.
Sobre el eje de simetría colocar el compás de forma que las puntas del mismo coincidan con la directriz y la recta trazada y con centro en el foco trazar arcos de circunferencia que corten a la recta que acabamos de trazar; Las intersecciones de la recta serán los puntos de la parábola.
EJERCICIO 1
1.- Representa los puntos de coordenadas: A(2,3), B(4,0), C(-3,1), D(-2,0), E(0,1), F(0,0). G(4.5,2), H(2.3,6).
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