GRUPO 16:
4.- Hallar el área del círculo cuya ecuación es
9x2 + 9y2 + 72x - 12y + 103 = 0
1º) Llevemos la ecuación "9x²+9y²+72x-12y+103=0" a una forma conocida:
9x² +9y² + 72x - 12y + 103 = 0 --->
9(x² + 8x) + 9[y² - (4/3)y] + 103 = 0 --->
9(x+4)² - 144 + 9[y-(2/3)]² - 4 + 103 = 0 --->
9(x+4)² + 9[y-(2/3)]² = 45 ---> (x+4)² + [y-(2/3)]² = 5
En esta expresión "5" representa el "cuadrado del radio". Y como el área del círculo es
A = ¶.Radio² ---> A = 5¶
5.-Hallar la longitud de la circunferencia cuya ecuación es
25x2 + 25y2 + 30x - 20y – 62 = 0
2º) Mismo procedimiento anterior:
25x² + 25y² + 30x - 20y - 62 = 0 --->
25[x² + (6/5)x] + 25[y² - (4/5)y] - 62 = 0 --->
25[x + (3/5)]² - 9 + 25[y - (2/5)]² - 4 - 62 = 0 --->
25[x + (3/5)]² + 25[y - (2/5)]² = 75 --->
[x + (3/5)]² + [y - (2/5)]² = 3
En esta última expresión el radio vale: Radio = √3
Y como la longitud de la circunferencia es:
Long = 2.¶.Radio ---> Long = 2.√3.¶
6.- demostrar que las circunferencias 4x2 + 4y2 - 16x + 12y + 13 = 0 y 12x2 + 12y2 – 48x + 36y + 55 = 0 son concéntricas.
Dos o más circunferencias son concéntricas si y solo si poseen el mismo centro.
PARA SABER EN QUE PUNTO ESTA EL CENTRO DE LA CIRCUNFERNCIAS HAY QUE LLEVARLAS A SU FORMA ESTANDAR, ES DECIR A LA FORMA:
( x - h )² + ( y - k )² = r²
Donde el centro esta en el punto C( h , k )
❶ 4x² + 4y² - 16x + 12y + 13 = 0
Dividiendo a la ecuación entre 4 queda:
x² + y² - 4x + 3y + 13 / 4 = 0
Agrupando términos semejantes:
( x² - 4x ) + ( y² + 3y ) + 13 / 4 = 0
Transponiendo el término independiente 13 / 4 al segundo miembro:
( x² - 4x ) + ( y² + 3y ) = -13 / 4
Completando el trinomio cuadrado perfecto:
( x² - 4x + 4 ) + ( y² + 3y + 9 / 4 ) = -13 / 4
Como se le sumo 4 y 9 / 4 al primer miembro de la ecuación para mantener la igualdad hay que sumarle la misma cantidad al segundo miembro de la ecuación:
( x² - 4x + 4 ) + ( y² + 3y + 9 / 4 ) = -13 / 4 + 4 + 9 / 4
( x² - 4x + 4 ) + ( y² + 3y + 9 / 4 ) = 5
Factorizando los trinomios cuadrados perfectos queda:
( x - 2 )² + ( y + 3 / 2 ) ² = 5
Por lo tanto el centro de esta circunferencia esta en el punto C₁
( 2 , - 3 / 2 ). ✔
❷ 12x² + 12y² - 48x + 36y + 55 = 0
Dividiendo a la ecuación entre 12 queda:
x² + y² - 4x + 3y + 55 / 12 = 0
Agrupando términos semejantes:
( x² - 4x ) + ( y² + 3y ) + 55 / 12 = 0
Transponiendo el término independiente 55 / 12 al segundo miembro:
( x² - 4x ) + ( y² + 3y ) = -55 / 12
Completando el trinomio cuadrado perfecto:
( x² - 4x + 4 ) + ( y² + 3y + 9 / 4 ) = 55 / 12
Como se le sumo 4 y 9 / 4 al primer miembro de la ecuación para mantener la igualdad hay que sumarle la misma cantidad al segundo miembro de la ecuación:
( x² - 4x + 4 ) + ( y² + 3y + 9 / 4 ) = -55 / 12 + 4 + 9 / 4
( x² - 4x + 4 ) + ( y² + 3y + 9 / 4 ) = 5 / 3
Factorizando los trinomios cuadrados perfectos queda:
( x - 2 )² + ( y + 3 / 2 ) ² = 5 / 3
Por lo tanto el centro de esta circunferencia esta en el punto C₂ ( 2 , - 3 / 2 ). ✔
Se comprueba que ambas circunferencias son concéntricas ya que poseen el mismo centro.
C₁ ( 2 , - 3 / 2 ) = C₂ ( 2 , - 3 / 2 )